De term
"denkbeeld" is inderdaad - zie de Noot - een
fraai Nederlands woord, al zijn lang niet alle ideeën denkbeelden, omdat -
zoals Descartes en Leibniz al opmerkten - niemand in staat is zich adekwaat
een duizend-hoek voor te stellen.
Het is echter ook
waar dat zeer veel onzin en onwaarheid geaccepteerd wordt door toehoorders
omdat deze toehoorders nalaten te proberen zich een adekwate voorstelling,
een bruikbaar denkbeeld, te vormen van het beweerde. Het hier gestelde kan -
ten naaste bij - anders geformuleerd worden als:
Een gedachte kan
niet veel beter zijn dan z'n uitdrukking.
Noot: Denkbeeld is 'n lief woord, en een der
velen waaruit de schoonheid onzer taal blykt.
Juist, en niet alleen vanwege "denk" maar ook vanwege
"beeld":
Denken is
gewoonlijk het trachten te vatten van wat is of zou kunnen zijn, in beelden of
andere gelijkenissen ontleend aan iets anders dat is of zou kunnen zijn.
En wanneer
woorden "gedacht" worden zonder denkbeelden is er sprake van
frases, van klanken zonder werkelijk doordachte of doorvoelde inhoud, hoe wáár het gedachte ook is:
Zonder een
mentale vertaalslag van frase naar denkbeeld wordt er niet gedacht maar
na-gebazeld.
Hier is overigens
een wat algemenere noot, voor doordenkers:
Aangezien we 't
over ideeën en denkbeelden hebben, lezer, zal ik proberen u een denkbeeld te geven
van wat een idee is.
Neem twee of drie
spiegels, plaats ze tegenover elkaar, en beschouw wat er te zien is:
Schijnbaar oneindige weerkaatsing, verdubbeling, replicatie, kopiëring en
complicatie van een en hetzelfde, dat u bovendien op allerlei manieren kunt
wijzigen en bewegen, eenvoudig door een spiegel wat te draaien, bewegen, of
er nog wat voor te houden.
Haal u vervolgens
voor de geest wat een zelfstandig naamwoord is. Dat is grammatikaal niet
moeilijk, want ieder woord waar "de", "het" of
"een" voor mag staan is een zelfstandig naamwoord.
Nu, zelfstandige
naamwoorden zijn namen voor evenzovele abstracte dingen die verzamelingen
heten, en een willekeurig ding is een lid van een verzameling in precies alle
gevallen dat het ding terecht het zelfstandig naamwoord toegekend kan worden
dat ook de naam van de verzameling is van precies alle dingen die de
eigenschap hebben terecht met dat zelfstandig naamwoord benoemd te worden.
Keer nu weer
terug naar uw spiegels, en neem aan dat een van die spiegels de eigenschap
zou krijgen z'n eigen spiegelingen te kunnen selecteren en in zichzelf te
spiegelen. Dan benaderen we iets van de minimale structuur van enig
bewustzijn, enig bewust zijn.
In meer algemene
termen:
Neem een wereld
aan. Noem 'm W. 't Zal een verzameling zijn, want "wereld" is een
zelfstandig naamwoord. Beschouw de verzameling van alle verzamelingen die
gevormd kan worden uit de leden van die verzameling. Noem deze W*. Dit is in
ieder geval de naam van een verzameling, en in 't geval van hele kleine verzamelingen
makkelijk voorstelbaar. En de verzameling van alle verzamelingen die gevormd
kunnen worden uit W is in zekere zin 't rijk der mogelijkheden van W.
Een afbeelding
van de ene verzameling A in een andere verzameling B is een regel met een
eigennaam die aan ieder lid van A precies een lid van B toekent. Een reden
waarom dit een afbeelding heet van A in B is dat wanneer u uw vingers voor
een naar de muur gerichte lamp houdt u een afbeelding te zien krijgt van uw
vingers op de muur, met precies een schaduw-vinger per vinger etc.
In de
verzamelingen-leer worden afbeeldingen gewoonlijk met een kleine letter, en
verzamelingen met hoofdletters geschreven, en heet de verzameling die
afgebeeld wordt het domein en de verzameling waarin afgebeeld wordt het bereik
van de afbeelding. Bovendien wordt de waarde die een afbeelding f van een
verzameling A in een verzameling B toekent aan een willekeurig lid van A
gewoonlijk met f(a) aangegeven.
Hier is een
eenvoudig voorbeeld uit de wiskunde: "kwadraat" is een afbeelding
van getallen naar getallen, waarvoor geldt dat het kwadraat van een getal
gelijk is aan het produkt van dat getal met zichzelf.
Merk op dat we
tot nu toe weinig of niets anders hebben gedaan dan een heldere terminologie
verbinden voor gebruikelijke woorden gebaseerd op grammatikale kenmerken.
Overweeg nu de
volgende aannames:
|
Nederlands
|
Wiskundige
Verzamelingen-leer
|
|
Laat
X een deelverzameling van de wereld W zijn.
|
X
inc W
|
|
Laat x een element van X zijn. |
x є X |
|
Laat
W* de verzameling van alle verzamelingen uit W zijn.
|
W
inc W* met W*={X:X inc W}
|
|
Laat
i een afbeelding van X* in W* zijn.
|
i
: X* |-> W*
|
|
i representeert X in W* precies als voor ieder element geldt dat x element
van X is precies als i(x) element van i(X) is.
|
repr(i,X,W)
iff (x)(xєX
iff i(x)єi(X))
|
De lezer zal
inzien dat waar en wanneer en waarover deze aannames ook waar zijn het
daarmee waar is - niet noodzakelijk: daardoor - dat men met i een
manier heeft om precies alle dingen die X zijn in W te vinden. (En "niet
noodzakelijk: daardoor", lezer, omdat de redenen waarom aannames waar
kunnen zijn geheel los kunnen staan van de redenen om ze aan te nemen, waar
te achten etc.)
En vervolgens zal
de lezer inzien dat indien men voor een gegeven W een afbeelding i zou hebben
die in bovenstaande zin voor alle leden van W geldt, dat men daarmee een
manier zou hebben om voor iedere combinatie die gevormd kan worden uit leden
van W te weten of deze bestaat of niet.
Aldus heeft de
lezer enige indruk gekregen hoe men de ideeën van het hebben van een idee,
een denkbeeld, waarheid, verzameling en afbeelding kan verhelderen, en
daarmee en daardoor ook een helder idee van 't begrip waarheid krijgen.
Voor wie 't nog
niet geheel ziet is hier als afsluiting een beeld daarvoor:
Een denkbeeld is
waar precies als 't zich verhoudt tot een werkelijkheid waarin 't waar zou
zijn zoals een korrekte landkaart die werkelijkheid beschrijft.
Andersom gesteld:
Iedere landkaart geeft een pretens waarachtige theorie van 't land dat die
kaart representeert - gewoonlijk bovendien in welbepaalde en niet in andere
aspecten:
Er zijn
welbepaalde verhoudingen en relaties in werkelijkheid die korresponderen met
welbepaalde verhoudingen en relaties zichtbaar op de kaart - precies dan als
de kaart ook waarachtig is.
En ideeën zijn
als landkaarten - of preciezer en juister: Landkaarten zijn een soort op
papier uitgedrukte ideeën - waarbij de lezer moet meewegen dat er zeer veel
soorten kaarten zijn, die allen legenda, conventies, vormen van projectie
etc. hebben die tot de kaart en de juiste interpretatie ervan behoren.
