Nederlog        

 

25 september 2008

                                                                 

Meer D'Arcy

 

 

Mijn internet-verbinding is al vele jaren niet goed, wat niet aan mijn computer ligt, want het geldt voor alle computers die ik gebruikte in die jaren, en niet aan mijn provider xs4all.nl, zeggen ze zelf, want (nadat dit me gezegd werd in 2004 was ik uitgepraat) "het gebeurt anderen niet, dus het gebeurt u ook niet".

Wèl dus, maar ik wil wel geloven dat het mij ook bij een andere provider zou overkomen.

Hoe het zij... ik heb wel bevonden dat "On Growth and Form", waar ik het gisteren over had, dat een boek is dat me zéér bevalt, on line zou staan, in pdf, met een download van maar liefst 57 MB, vooral vanwege de illustraties, ook al van de meerzijdig hoogbegaafde D'Arcy Thompson, maar het is ook veel tekst, en ook tamelijk wat formules.

De betreffende sites - en anderen, inclusief het Encyclopedia Brittanica-artikel over "On Growth and Form" - mocht ik niet op, van xs4all, maar ik neem aan dat voor u dit beletsel niet geldt, en met een snel modem is 57 MB ook snel binnen.

Ik wilde u echter wat laten zien van het soort proza dat D'Arcy Thompson schreef en zal dus het een en ander moeten overtiepen van mijn papieren copie, minus de illustraties, wat ik zometeen doe, na een enkele opmerking over de wiskundige formules in zijn boek, en wel deze:

Er staan redelijk wat formules in, meestal - uiteindelijk - geometrische, en enkele keren een eenvoudige differentiaal-vergelijking. Alles of vrijwel alles behoort te begrijpen te zijn voor iemand met een klassieke HBS-B of met een idem gymnasium-bèta, maar slechts weinige Nederlanders zijn nog zo gelukkig deze gehad te hebben, en die zijn allemaal achterin de vijftig of ouder.

Het grote voordeel voor u is dat hij het allemaal, formules incluis, in beginsel in heel helder Engels uitlegt en dat u al die formules echt niet allemaal door hoeft te puzzelen. En het is vaak een goed idee voor wie een wiskundige tekst met formules leest om de formules en de eventuele bewijzen, zoals dat heet in goed Amsterdams, "op de bonnefooi te nemen", en eerst te proberen uit te vinden waar ze over gaan, en pas als u dàt begrijpt te zien of u ze door wilt nemen.

Dat leest een stuk makkelijker en een stuk rustiger, en echte wiskundigen doen het ook zo, want veel bewijsgangen en redenaties worden vooral geleverd om aan te tonen dat het klopt, en zijn veel minder belangrijk dan wat bewezen of beredeneerd wordt, dat zich over het algemeen heel wel in redelijk Engels (or whatever) zonder wiskunde laat samenvatten.

Nu wat meer D'Arcy.

U kunt van alles aantreffen in zijn 1116 paginaas over groei en vorm, inclusief leerzame paginaas getiteld "Comparative anatomy of bridges" dat via idem over "The skeleton as a bridge" en "Of reciprocal diagrams" naar "The skeleton of quadrupeds" gaat (en verder).

Twee favoriete themaas van velen die het boek lazen zullen echter de hoofdstukken over (o.a.) "The Equiangular spiral" [N1] en "Of the bee's cells" zijn, waarvan ik nu eerst het begin van "Chapter XI - The Equiangular spiral" geef:

The very numerous examples of spiral conformation which we meet with in our studies of organic form are peculiarly adapated to mathematical methods of investigation. But ere we begin to study them we must take care to define our terms, and we had better also attempt some rough preliminary classification of the objects with which we shall have to deal.

In general terms, a Spiral is a curve which, starting from a point of origin, continually dimishes in curvature as it recedes from that point; or, in other words, whose radius of curvature continually increases. This definition is wide enough to include a number of different curves, but on the other hand it excludes at least one which in popular speech we are apt to confuse with a true spiral. This latter curve is the simple screw, or cylindrical helix, which curve neither starts from a definite origin nor changes its curvature as it proceeds. [N2] The "spiral" thickening of a woody plant-cell, the "spiral" thread within an insect's tracheal tube, or the "spiral" twist and twine of a climbing stem are not, mathematically speaking, spirals at all, but screws or helices. They belong to a distinct, though not very remote, family of curves. [N3]

Of true organic spirals we have no lack*. We think at once of horns of ruminants, and of still more exquisitely beautiful molluscan shells  - in which (as Pliny says) magna ludentis Naturae varietas. Closely related spirals may be traced in the florets of a sunflower; a true spiral, though not, by the way, so easy of investigation, is seen in the outline of a cordiform leaf; and yet again, we can recognise typical though transitory spirals in a lock of hair, in a staple of wool§, in the coil of an elephant's tusk, in the "circling spires" of a snake, in the coils of a cuttle-fish's arm, or of a monkey's or chameleon's tail. (p. 748-9, op. cit.

* A great number of spiral forms, both organic and artificial, are described and beautifully illustrated in Sir T.A. Cook's Spirals in Nature and Art, 1903, and Curves of Life, 1914.

§ On this interesting case see, e.g., J.E. Duerden, in Science, May 25, 1934.

Dit wordt direct gevolgd door zwart-wit foto van een doorsnede van de schelp van Nautilus pompilus, die ook de kaft van Thompon's boek in de Dover-editie verfraait, maar dan in kleur - en gevolgd door 99 paginaas over "The Equiangular spiral" [N1] in z'n vele gedaanten en vormen, vooral in schelpen en slakkenhuizen. (Trouwens, één essentiële eigenschap van deze spiraal - die ontdekt werd door Descartes - is "self-similarity", tegenwoordig wellicht bekend door de ingewikkelder Mandelbrot-structuur: de vorm reproduceert of herhaalt zichzelf constant, afgezien van grootte, en vandaar dus weer de regelmatige struktuur van een slakkehuis etc.)

Het algemene punt, de algemene les, is dat tal verschijnselen, voor wie ver, diep of helder genoeg ziet, te vatten zijn in termen van de basis-eigenschappen van een paar - vaak in het juiste licht bezien: verbluffend eenvoudige en elegante - wiskundige structuren, waar de verschijnsel voorbeelden of complicaties van zijn.

Dan is er D'Arcy over de cellen van de bij, in een lang hoofdstuk getiteld "The form of tissues", die onder anderen belangrijk zijn omdat ze eeuwen lang opgevoerd zijn als "een bewijs" voor God's bestaan en almacht: Dat zulke eenvoudige wezentjes als bijen in staat waren de meest optimale hexagonale vorm voor hun cellen te vinden "moest" wel bewijzen dat de Heere Heere - Hij die ook Eimert, Jacqueline, Ella en al onze overige fraaie Ministers en Volksvertegenwoordigers schiep, althans volgens Eimert zelf en z'n politieke club - in oneindige welwillendheid, liefde, goedheid, wijsheid en wiskundigheid Al dat Was, Is en Zal Zijn schiep. (We vergeten Auschwitz, de beurscrisis, de begaafdheid van Neerlandse ministers en ministeries, de broedzorg van sluipwespen en de eetgewoontes van hyenaas voor het gemak even.)

Niets is minder waar. D'Arcy Thompson vertelt:

What Jeremy Taylor called "the discipline of bees and the rare fabric of honeycombs" must have attracted the attention and excited the admiration of mathematicians from time immemorial. "Ma maison est construite," says the bee in Arabian Nights, "selon les lois d'une sévère architecture; et Euclidos lui-même s'instruirait en admirant la géométrie de ses alvéoles *." Ausonius speaks of the geometrica forma favorum, and Pliny tells us of men who gave a lifetime to its study.

Pappus the Alexandrine has left us an account of its hexagonal plan, and drew from it the conclusion that the bees were endowed with "a certain geometrical forethought" §. "There being, then, three figures which of themselves can fill up the space round a point, viz. the triangle, the square and the hexagon [N4], the bees have wisely selected for their structure that which contains most angles, suspecting indeed that it could hold more honey than either of the other two #". Erasmus Bartholin was apparently the first to suggest that the hypothesis of "economy" was not warranted, and that the hexagonal cell was no more than the necessary result of equal pressures, each bee striving to make its little circle as large as possible. (p. 526-7, op. cit.)

*  Ed. Mardrus, XV, p. 173.

§  φυσική γεωμτρικήν πρόνιαι. Pappus, Bk. V; cf. Heath, Hist. of Gk. Math. II, p. 589. St. Basil discusses the τήσ γεωμτρίαν τήσ σοφωτάτησ  μελισσησ: Hexaem. VIII, p. 172 (Migne). Virgil speaks of the pars divinae mentis of the bee, and Kepler found the bees animâ praeditas et geomet.riae suo modo capaces.

#  This was according to the "theorem of Zenodorus". The use by Pappus of "economy" as a guiding principle is remarkable. For it means that, like Hero with his mirrors, he had a pretty clear adumbration of that principle of minima, which culminated in the principle of least action, which guided eighteenth-century physics, was generalised (after Fermat) by Lagrange, inspired Hamilton and Maxwell, and reappears in the latest developments of wave-mechanics.

Hier moet u weten dat Euclides, Pappus, Hero, Kepler, Fermat, Langrange, Hamilton en Maxwell tot de allergrootste wiskundigen behoren (over een periode van 2200 jaar); dat Thompson met "the latest developments of wave-mechanics" aan quantum-mechanica refereerde; en dat het bewijs dat de bijen hun hexagonale cellen maken alleen met hulp van random bijenhandelen + elementaire wiskunde + mechanica bij elkaar ca. een eeuw nam, en voor het eerst volledig is gegeven door de Schotse wiskundige Colin Maclaurin en de Franse idem Buffon.

Maar goed ... D'Arcy Thompson behandelt het allemaal in detail, met geleerde verwijzingen naar tal van biologen en wiskundigen, lange fraaie Franse citaten van Buffon, en idems in zowel het Frans als het Duits van de mogelijke 19e eeuwse Nederlander Kieser, verluchtigd met hier een diagram, daar een foto, en met wiskundige redeneringen in de tekst.

Het kàn natuurlijk zijn dat u er allemaal hoegenaamd niets aan vindt en dat u toch een uitstekende intelligentie hebt, en van mij hoeft u niet tegen heug en meug dit of dat te lezen, bijvoorbeeld omdat ik dat zeg.

En - gis ik - het is waarschijnlijker dan niet, zelfs als u het bovenstaande leuk vindt, dat u hier of daar even hebt moeten slikken vanwege het Engels, Frans, Grieks of Latijn. ("Que?! Que?! I am from Barcelona: I know nothing!" [N5])

Het schandalige echter, van het moderne Nederlandse onderwijs, is dat tot 40 jaar geleden iedereen die een HBS-B of Gymnasium-bèta doorlopen had (zonder mentoren nodig te hebben gehad) in staat was vrijwel alles van het bovenstaande moeiteloos te lezen, en hetzelfde geldt voor alle wiskunde die Thompson gebruikt.

Tegenwoordig arriveren de 18-jarigen aan een TH of bij een eerstejaars bèta-opleiding zelfs zonder het vermogen een vergelijking als 1/3+1/4=x uit het blote hoofd op te lossen, zonder rekenmachine. [N6]

En de allerhoogst opgeleide bloem der Nedernatie - the best and the brightest of those who surround me - is niet meer in staat, al zouden ze willen, het beste proza van de helderste geesten zelfs maar met begrip te lezen. Alles dankzij veertig jaar Nederlands onderwijsbeleid; alles dankzij de ministers van onderwijs, de regeringen en de parlementsleden in die tijd.

Zonder enige aansporing te willen impliceren of suggereren: Er zijn mensen voor heel veel minder opgehangen, dan het moedwillig debiliseren van miljoenen.

P.S. Morgen géén Thompson, beloof ik u. Maar hij was - in mijn boek - een groot man, en ik wilde u laten zien hoe hij schreef, en vandaar.

[N1] Hetzelfde als de logarithmische spiraal, voor wie 'm onder die naam kent. Bekijk een slakkenhuis en u ziet 'm in kalk.

[N2] D'Arcy Thompson - net als Edward Gibbon - heeft zeer veel zeer fraaie voetnoten (er moet een boek geschreven zijn over "The Art Of The Footnote", ooit, ergens, al gis ik dat hier en nu alleen maar - en anders is dat een groot gemis), en ik geef er hier maar één van mijzelf, naar beste weten, en minstens enigszins relevant: Het was volgens mij ook Archimedes die bedacht dat een schroefvormige cylinder in een cylinder als pomp gebruikt kon worden (dat later in de landbouw is toegepast, voor bevloeiing e.d. en daarmee ongeteld veel miljoenen heeft helpen voeden.)

[N3]  En omvatten dus iets dat D'Arcy Thompson helaas net miste: De "double helix" van het menselijk genoom, ontdekt door Crick en Watson.

[N4] "fill up the space" ook in de zin van "met - eenvoudige, regelmatige - figuren die naast elkaar geen ruimte overlaten, en in die zin dus een optimale verdeling van die ruimte middels die soort van figuren geeft.

[N5] Een waarachtig Socratische wijsheid uit Fawlty Towers, natuurlijk. (Ik leef in een land met miljoenen van dergelijke wijze Godenzonen en tel daarom dagelijks mijn zegeningen. En het verschil is natuurlijk dat de Nederlandse Manuels Trots zijn op hun eigen onvermogen, en wéten dat WIE aar duh tjempions! Heerlijk!)

[N6] Niet om het een of ander.... maar als u dit niet kunt, in ongeveer een oogopslag (of twee, als u meer een alfa bent), dan mist u wel het een en ander. (Het antwoord is x=7/12, "de bewijsgang" elementair, en er was tot 40 jaar geleden geen 12-jarige op het LO die het antwoord niet behoorde te weten.)

 Maarten Maartensz

        home - index - top - mail